如果不使用欧拉-拉格朗日方程来解决这道题，我们可以直接使用变分法的定义和特性来导出与给定变分问题等价的边值问题。下面是针对该问题的一般步骤：

1. **边值问题的导出：**

   首先，我们要求能量泛函 \(J(v)\) 的最小值，即求解以下极小化问题：

   \[J(u)=\min _{v \in V} J(v)\]

   对于给定的变分空间 \(V=C^2(\Omega) \cap C^1(\bar{\Omega})\)，我们将尝试找到使能量泛函取得极小值的函数 \(u\)。

   通过直接应用变分法的定义，我们可以对 \(J(u)\) 分别对 \(u\) 和 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\) 求变分，从而得到与变分问题等价的边值问题。

2. **边值问题的表述：**

   通过变分法的推导，我们可以得到该变分问题等价的边值问题为：

   \(-\Delta u = f \text{ in } \Omega\)

   \(u = 0 \text{ on } \partial \Omega\)

   其中 \(f = -\nabla \cdot \sigma + g\)

3. **等价性的证明：**

   为了证明这两个问题是等价的，我们需要进行解存在性和解唯一性的证明。解存在性可以通过能量泛函的严格数学处理来证明，而解的唯一性则可以通过利用椭圆偏微分方程理论中的最大值原理和调和函数的性质来证明。

以上就是针对这个问题的一般处理流程。如果你需要更详细的推导或者其他相关信息，请随时告诉我，我会提供进一步的帮助。